Hvordan fungerer gas i et vakuum? Introduktion til den ideelle gaslov

Boyle-Mariotte-lov

$$p\bullet\ V=konst. $$

p · V = konst.

for T = konstant (isotermisk)

Gay-Lussacs lov (Charles’ lov)

$$V=V_0(1+\beta\bullet\ t)$$

for p = konstant (isobar)

Amontons lov

$$p=p_0(1+V\bullet\ t)$$

for V = konstant (isochor)

Daltons lov

$$\sum_{i}\ p_i=p_{total}$$

Poisson’s lov

$$p\bullet\ V^K=konst$$

(adiabatisk) (isolering)

Avogadros lov

$$\frac{m_1}{V_1}:\frac{m_2}{V_2}=M_1:M_2$$

Ideel gaslov

$$p\bullet\ V=\frac{m}{M}\bullet\ R\bullet\ T=\nu\bullet\ R\bullet\ T$$

Også: Ideel gastilstandsligning (fra kontinuitetsteorien)

van der Waals’ ligning

$$\left(p+\frac{a}{V^2m}\right)\bullet\left(V_m-b\right)=R\bullet\ T$$

a, b = konstant (internt tryk, co-volumen)

Vm = Molvolumen

også: Reel gastilstandsligning

Clausius-Clapeyrons ligning

$$L=T\bullet\frac{dp}{dT}\bullet(V_{m,v}-V_{m,1})$$

1. Atomer/molekyler er punkter.

2. Kræfter overføres kun til hinanden ved sammenstød.

3. Kollisioner er elastiske.

4. Molekylær turbulens (tilfældighed) er udbredt.

$$\frac{n}{6}\bullet\ c\bullet2\bullet\ m_T\bullet\ c=\frac{1}{3}\bullet\ n\bullet\ c^2\bullet\ m_T=p$$

Hvor $$n=\frac{N}{V}$$

Udskiftning af c² med c² - sammenligner følgende to "generelle" gasligninger:

$$p\bullet\ V=N\bullet\left(\frac{m_T\bullet\ R}{M}\right)\bullet\ T=\frac{2}{3}\bullet\ N\bullet(\frac{m_T\bullet\bar{c^2}}{M})$$

Formlen i parentes til venstre er Boltzmann-konstanten k; til højre er et mål for molekylernes gennemsnitlige kinetiske energi:

Boltzmann konstant

$$k=\frac{m_T\bullet\ R}{M}=1,38\bullet{10}^{-23}\frac{J}{K}$$

Molekylets gennemsnitlige kinetiske energi

$$\bar{E_{kin}}=\frac{m_T\bullet\bar{c^2}}{M} $$

således $$p\bullet\ V=N\bullet\ k\bullet\ T=\frac{2}{3}\bullet\ N\bullet\bar{E_{kin}}$$

I denne form viser gasligningen temperaturens gaskinetiske energi!

Molekylvægten er

$$m_T=\frac{M}{N_A}=\frac{\frac{Mass}{mol}}{\frac{Molecules}{mol}} $$

hvor NA er Avogadros nummer (tidligere Loschmidts nummer).

Avogadro konstant

$$N_A=6.022\bullet{10}^{23}{mol}^{-1}$$

For 1 modermærke, $$\frac{m_T}{M}=1$$ og

$$V=Vm=22,414\ (molar\ volumen)$$

Derfor fra den ideelle gaslov under standardforhold

(T_n = 273,15 K og p_n = 1013,25 mbar):

$$p\bullet\ V=\frac{m}{M}\bullet\ R\bullet\ T$$

For de generelle gaskonstanter:

Ifølge den kinetiske teori for gas udtrykkes antallet n af gasmolekyler relateret til volumen som en funktion af tryk p og termodynamisk temperatur T som følger:

$$p=n\bullet\ k\bullet\ T$$

(1,1)

Gasdensiteten p er produktet af partikeltallets densitet n og partikelmassen m_T:

$$\rho=n\bullet\ m_T$$

Sammenhængen mellem massen m_T af et gasmolekyle og gassens molmasse M er som følger:

$$M=N_A\bullet\ m_T$$

(1,3)

Avogadros tal (eller konstant) N_A angiver antallet af gaspartikler indeholdt i en gasmøl. Det er også en proportionalkoefficient mellem gaskonstanten R og Boltzmann-konstanten k:

$$R=N_A\bullet\ k$$

(1,4)

Forholdet mellem trykket p for den ideelle gas og gasdensiteten p kan udledes direkte af ovenstående ligninger (1,1) til (1,4).

$$p=\rho\bullet\frac{R\bullet\ T}{M}$$

(1,5)

I praksis er det ofte tilfældet at overveje et bestemt lukket volumen V, hvor gassen er til stede ved et bestemt tryk p. Hvis m er massen af gassen til stede i dette volumen, så

$$\rho=\frac{m}{V}$$

(1,6)

den ideelle gaslov kan hentes direkte fra ligningen (1,5)

$$p\bullet\ V=\frac{m}{M}\bullet\ R\bullet\ T=\nu\bullet\ R\bullet\ T $$

(1,7)

Hvor kvotienten m/M er antallet af mol ο til stede i volumen V.

En enklere form gælder for m / M = 1, dvs. for 1 modermærke:

$$p\bullet\ V=R\bullet\ T$$

(1.7a)

Følgende numeriske eksempel viser forholdet mellem gasmassen og trykket i en gas med forskellige molmasser i tabel IV. En volumen på 10 liter (2 gallon) ved 20 °C (68 °F) indeholder

a) 1 g helium

b) 1 g nitrogen

Anvendelse af ligningen (1,7), V = 10 l , m = 1 g,

$$p=\frac{1\ \bullet\ g\ \bullet\ 83,14\ \bullet\ mbar\ \bullet\ l\ \bullet\ {mol}^{-1}\ \bullet\ K^{-1}\ \bullet\ 293\ \bullet\ K}{10\ \bullet\ l\ \bullet\ K\ \bullet\ 4\ \bullet\ g\ \bullet\ {mol}^{-1}}=609\ mbar$$

$$R=\frac{83,14\ mbar\ \bullet\ l\ \bullet\ {mol}^{-1\ }\bullet\ K^{-1}\ \bullet\ 293\ \bullet\ K}{10\ \bullet\ l\ \bullet\ K\ \bullet\ 28\ \bullet\ g\ \bullet\ {mol}^{-1}}=87\ mbar$$

Det paradoksale resultat er, at en let gas udøver mere tryk end en tungere gas af samme masse. Det skal dog tages i betragtning, at der for samme gastæthed (se ligning 1,2) er flere partikler af let gas (stor n, lille m) end tung gas (lille n, stor m). Resultaterne er lette at forstå, fordi kun partikeltalstætheden n er forbundet med trykniveauet ved samme temperatur (se ligning 1,1).